Ay, ahí hay... un error ortográfico
Pero es cierto que la pronunciación no es tan distinta y eso hace que sea una duda ortográfica frecuente.
HAY
Hay corresponde al presente de indicativo del verbo Haber.
Por ello, ante la duda, es importante conjugarlo en otras personas para asegurarnos que es un verbo.
Ejemplo: Aquí no hay nadie. (Aquí no había nadie.)
AY
Ay es una interjección que expresa dolor, o una emoción, y suele ir entre signos de exclamación.
Ejemplo: ¡Ay!, qué susto.
AHÍ
Ahí es un adverbio de lugar. Una forma de comprobarlo es cambiarlo por otros adverbios de lugar como allí o aquí.
Para distinguirlos, ante la duda, hay una regla mnemotécnica que ayuda mucho:
Ahí hay un hombre que dice ¡ay!